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曲阜育才实验学校是集小学、初中、高中、助学、假期、周末、晚自习为一体的综合性同步辅导班。专门针对中小学生进行课外辅导机构,育才积累了丰富、成熟、完善的管理经验和独特的辅导方法。自成立以来,本着“育人为本、育德为先、振兴中华、育才天下”的宗旨,多年来辅导学生上千人,80%以上学生考入市重点中学。注重培养学生学习兴趣及学习方法,在巩固课本知识的基础上,分专题系统讲授学习技能知识,注重解题技巧的积累,解题方法的归纳,进一步训练学生的学习思维能力,增强分析问题和解决问题的能力。在广大中小学及家长中形成良好的口碑!

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小学数学六年级(上册)各单元重要知识点  

2016-01-03 14:50:40|  分类: 期末复习 |  标签: |举报 |字号 订阅

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  第一单元 位置

  用数对确定点的位置,如(3,5)表示:(第三列,第五行)

  几 列 几 行

  ↓ ↓

  竖排叫列 横排叫行

  一般(从左往右看) (从前往后看)

  平移时用“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”来表述。

  图形左、右平移: 行不变 图形上、下平移: 列不变

  第二单元 分数乘法

  一、分数乘法

  (一)分数乘法的意义:

  1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。

  例如:

  ×5表示求5个

  的和是多少?

  也表示

  的5倍是多少?

  5×

  表示求5的

  是多少

  2、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。

  例如:

  ×

  表示求

  的

  是多少?

  (二)分数乘法的计算法则:

  1、分数与整数相乘:分子与整数相乘的积做分子,分母不变。(整数和分母约分

  2、分数与分数相乘:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。

  3、为了计算简便,能约分的要先约分,再计算

  注意:当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。

  4、分数连乘的计算方法:先约分,就是把所有的分子中可与分母相约的数先约分,再用分子乘分子作积的分子,分母乘分母作积的分母。

  (三)、规律:(乘法中比较大小时)

  一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。

  一个数(0除外)乘小于1的数(0除外),积小于这个数。

  一个数(0除外)乘1,积等于这个数。

  (四)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。

  (五)、整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘法也同样适用。

  乘法交换律: a × b = b × a

  乘法结合律: ( a × b )×c = a × ( b ×c )

  乘法分配律: ( a + b )×c = a c + b c

  二、分数乘法的解决问题

  (已知单位“1”的量(用乘法),求单位“1”的几分之几是多少)

  1、画线段图:

  (1)两个量的关系:画两条线段图; (2)部分和整体的关系:画一条线段图。

  2、找单位“1”: 一般在分率句中分率的前面;或“占”、“是”、“比”的后面

  3、求一个数的几倍: 一个数×几倍; 求一个数的几分之几是多少: 一个数×

  

  4、写数量关系式技巧:

  (1)“的” 相当于 “×” “占”、“是”、“比”相当于“ = ”

  (2)分率前是“的”: 单位“1”的量×分率=分率对应量

  (3)分率前是“多或少”的意思: 单位“1”的量×(1

  分率)=分率对应量

  三、倒数

  1、倒数的意义: 乘积是1的两个数互为倒数。

  强调:互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存在。

  (要说清谁是谁的倒数)。

  2、求倒数的方法:

  (1)、求分数的倒数:交换分子分母的位置。

  (2)、求整数的倒数:把整数看做分母是1的分数,再交换分子分母的位置。

  (3)、求带分数的倒数:把带分数化为假分数,再求倒数。

  (4)、求小数的倒数: 把小数化为分数,再求倒数。

  3、1的倒数是1; 0没有倒数。 因为1×1=1;0乘任何数都得0,

  (分母不能为0)

  4、 对于任意数

  ,它的倒数为

  ;非零整数

  的倒数为

  ;分数

  的倒数是

  ;

  5、 真分数的倒数大于1假分数的倒数小于或等于1带分数的倒数小于1

  第三单元 分数除法

  一、分数除法

  1、分数除法的意义:

  乘法: 因数 × 因数 = 积 除法: 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数

  分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。

  2、分数除法的计算法则:

  除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。

  3、规律(分数除法比较大小时):

  (1)、当除数大于1,商小于被除数;

  (2)、当除数小于1(不等于0),商大于被除数;

  (3)、当除数等于1,商等于被除数。

  4、“

  ”叫做中括号。一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的, 再算中括号里面的。

  二、分数除法解决问题

  (未知单位“1”的量(用除法):

  已知单位“1”的几分之几是多少,求单位“1”的量。 )

  1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:

  (1)分率前是“的”: 单位“1”的量×分率=分率对应量

  (2)分率前是“多或少”的意思: 单位“1”的量×(1分率)=分率对应量

  2、解法:(建议:最好用方程解答)

  (1)方程: 根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。

  (2)算术(用除法): 对应量÷对应分率 = 单位“1”的量

  3、求一个数是另一个数的几分之几:就 一个数÷另一个数

  4、求一个数比另一个数多(少)几分之几: 两个数的相差量÷单位“1”的量 或:

  ① 求多几分之几:大数÷小数 – 1

  ② 求少几分之几:1 - 小数÷大数

  三、比和比的应用

  (一)、比的意义

  1、比的意义两个相除又叫做两个数的

  2、在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的,叫做比值。比的后项不能为0,因为比的后项相当于除法中的除数,除数不能为0.

  例如 15 :10 = 15÷10=

  (比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示

  ∶ ∶ ∶ ∶

  前项 比号 后项 比值

  3、比可以表示两个相同量的关系,即倍数关系。也可以表示两个不同量的比,得到一个新量。例: 路程÷速度=时间。

  4、求比值的方法:用比的前项除以比的后项。

  5、区分比和比值

  :表示两个数的倍数关系,可以写成比的形式,也可以用分数表示。有比的前项和比的后项

  比值:相当于商,是一个数,是一个结果,可以是整数,分数,也可以是小数。

  6、根据分数与除法的关系,两个数的比也可以写成分数形式。例如3:2也可以写成,仍读作“3:2”。

  7、 比和除法、分数的联系:

  比前 项比号“:”后 项比值除 法被除数除号“÷”除 数商分 数分 子分数线“—”分 母分数值

  8、比和除法、分数的区别:除法是一种运算,分数是一个数,比表示两个数的关系。

  9、根据比与除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为0。

  体育比赛中出现两队的分是2:0等,这只是一种记分的形式,不表示两个数相除的关系。

  (二)、比的基本性质

  1、根据比、除法、分数的关系

  商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。

  分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外),分数值不变。

  比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。

  2、最简整数比:比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整数比。

  3、根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比。

  4.化简比:

  (1)依据比的基本性

  ①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。

  ②两个分数的比:用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整数比的方法来化简。

  ③两个小数的比:向右移动小数点的位置,先化成整数比再化简。

  (2)用求比值的方法。

  如: 15∶10 = 15÷10 = = 3∶2

  5.按比例分配:把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。

  如: 已知两个量之比为 ,则设这两个量分别为 。

  6、路程一定,速度比和时间比成反比。(如:路程相同,速度比是4:5,时间比则为5:4

  工作总量一定,工作效率和工作时间成反比

  (如:工作总量相同,工作时间比是3:2,工作效率比则是2:3)

  (三)和比的应用题有关的概念

  1、求每份数的方法

  和÷分数和=每份数相差数÷相差份数=每份数部分数÷对应份数=每份数

  2、图形求比的常见公式

  长方体(长+宽+高)的和=棱长和÷4 长方形(长+宽)的和=周长÷2

  3、相遇问题

  速度和= 路程÷相遇时间

  第四单元 圆

  一、认识圆

  1、圆的定义:圆是由曲线围成的一种平面图形。

  2、圆心:将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。

  一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等.(画圆切忌别忘记标圆心0)

  3、半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。

  把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。

  4、直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。

  直径是一个圆内最长的线段。

  5、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。(画圆给出半径标半径r=?,给出直径标直径d=?)

  6、在同圆或等圆内有无数条半径,有无数条直径。所有的半径都相等,所有的直径都相等。

  7.在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的。

  用字母表示为:d=2r或r = 或r=d÷2

  8、轴对称图形

  如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。

  折痕所在的这条直线叫做对称轴。

  9、长方形、正方形和圆都是对称图形,都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。

  10、只有1一条对称轴的图形有: 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。

  只有2条对称轴的图形是: 长方形

  只有3条对称轴的图形是: 等边三角形

  只有4条对称轴的图形是: 正方形;

  有无数条对称轴的图形是: 圆、圆环。

  二、圆的周长

  1、圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。

  2、圆周率实验:

  在圆形纸片上做个记号,与直尺0刻度对齐,在直尺上滚动一周,求出圆的周长。

  发现一般规律,就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π)。圆的周长总是它直径的3倍多一些。

  3.圆周率:任意一个圆的周长与它的直径比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率

  用字母π(pai) 表示。

  (1)一个圆的周长总是它直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。

  圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时,一般取π≈ 3.14。

  (2)在判断时,圆周长与它直径的比值是π倍,而不是3.14

  (3)世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

  4、圆的周长公式C=πd d = C ÷π

  或C=2π r r = C ÷ 2π

  5、在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。

  在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。

  6、区分周长的一半半圆的周长

  (1)周长的一半等于圆的周长÷2 计算方法:2π r ÷ 2 即 π r

  (2)半圆的周长:等于圆的周长的一半加直径。 计算方法πr+2rπr+d

  三、圆的面积

  1、圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。

  2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。

  3、圆面积公式的推导

  (1)、用逐渐逼近的转化思想: 体现化圆为方,化曲为直;化新为旧,化未知为已知,化复杂为简单,化抽象为具体。

  (2)、把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多,拼成的图像越接近长方形。

  (3)、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。

  圆的半径 = 长方形的宽

  圆的周长的一半 = 长方形的长

  因为: 长方形面积 = 长 × 宽

  所以: 圆的面积 = 圆周长的一半 ×圆的半径

  S圆 = πr × r = πr2

  圆的面积公式: Sπr2 r2 = S÷π

  圆的面积公式: S =πr2÷2 或S =πr2

  圆的面积公式: S =πr2÷4 或S =πr2

  4、环形的面积:(环形的面积等于外圆面积与内圆面积的差)

  一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r。(R=r+环的宽度.)

  S= πR?2;-πr?2;

  环形的面积公式S= π(R?2;-r?2;)

  求环形的面积,一定要先想法分别求出外圆的半径(R)和内圆的半径(r)

  再代入公式计算。一步一步的来,这样不容易错误。注意用公式S环 = π(R?2;-r?2;)

  计算时,要先算出2个平方数,再相减。切忌相减后再平方。

  5、扇形的面积计算公式: S=πr2×n表示扇形圆心角的度数

  6、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数

  而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 例如:

  在同一个圆里,半径扩大3倍,那么直径和周长就都扩大3倍,而面积扩大9倍。

  7、两个圆: 半径比 = 直径比 = 周长比;而面积比等于这比的平方。例如:

  两个圆的半径比是2∶3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3,而面积比是4∶9

  8、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,即:4π

  圆的周长是直径的π倍,圆的周长与直径的比是π:1

  圆的周长是半径的2π倍,圆的周长与半径的比是2π:1

  9、当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆面积最大,正方形居中,长方形面积最小。反之,面积相同时,长方形的周长最长,正方形居中,圆周长最短

  10、周长计算公式:

  知道半径求周长:C=2πr 知道直径求周长:C=πd

  已知周长:D=C÷π 圆周长的一半:周长(曲线)

  半圆的周长:周长+直径 C =πr+2r

  面积计算公式:(无论是知道直径或者周长,都应该先求出半径,再求面积)

  知道半径求面积:S=πr2 知道直径求面积:S=π(d÷2)2

  知道周长求面积:S=π(C÷π÷2)2

  11、确定起跑线:

  (1)每条跑道的长度 =两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。

  (2)每条跑道直道的长度都相等,而各圆周长决定每条跑道的总长度。(因此起跑线不同)

  (3)每相邻两个跑道相隔的距离是: 2×π×跑道的宽度

  (4)当一个圆的半径增加a厘米时,它的周长就增加2πa厘米;当一个圆的直径增加a厘米时,它的周长就增加πa厘米。

  12、常用各π值结果:

  π = 3.14

  2π = 6.28

  3π = 9.42

  5π =15.7

  6π =18.84

  7π = 21.98

  9π = 28.26

  10π = 31.4

  16π = 50.24

  36π= 113.04

  64π = 200.96

  96π = 301.44

  4π = 12.56 8π = 25.12 25π = 78.5

  13、常用平方数结果

  = 121 = 144 = 169 = 196 = 225

  = 256 = 289 = 324 = 361

  第五单元百分数

  一、百分数的意义和写法

  1、百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几。

  百分数是指的两个数的比,因此也叫百分率或百分比。

  百分数通常不写成分数形式,而采用百分号“%”,百分数后面不能带单位名称。

  2、千分数:表示一个数是另一个数的千分之几。

  3、百分数和分数的主要联系与区别:

  (1)联系:都可以表示两个量的倍比关系。

  (2)区别:

  ①、意义不同:百分数只表示两个数的倍比关系,不能表示具体的数量,所以不能带单位

  分数既可以表示具体的数,又可以表示两个数的关系,表示具体数时可以带单位

  ②、百分数的分子可以是整数,也可以是小数;

  分数的分子不能是小数,只能是除0以外的自然数。

  ③、百分数的读法和分数的读法大体相同,也是先读分母,后读分子,但要注意读百分数的分母时,不能读成一百分之几,而只能读作“百分之几”

  4、百分数的写法:通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表示。

  二、百分数和分数、小数的互化

  (一)百分数与小数的互化:

  1、小数化成百分数:把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。

  2. 百分数化成小数:把小数点向左移动两位,同时去掉百分号。

  (二)百分数的和分数的互化

  1、百分数化成分数:

  先把百分数化成分数,先把百分数改写成分母是否100的分数,能约分要约成最简分数。

  2、分数化成百分数:

  ① 用分数的基本性质,把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数,再写成百分数形式。

  ② 先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。

  (三)常见的分数与小数、百分数之间的互化

  = 0.5 = 50% = 0.2 = 20% = 0.625 = 62.5%

  = 0.25 = 25% = 0.4 = 40% = 0.125 = 12.5%

  = 0.75 = 75% = 0.6 = 60% = 0.375 = 37.5%

  = 0.0625 = 6.25% = 0.8 = 80% = 0.875 = 87.5%

  = 0.04 = 4﹪ = 0.08 = 8﹪ = 0.12 = 12﹪ = 0.16 = 16﹪

  三、用百分数解决问题

  (一)一般应用题

  1、常见的百分率的计算方法:

  ①合格率 = ②发芽率 =

  ③出勤率 =

  ④达标率=

  ⑤成活率 =

  ⑥出粉率 =

  ⑦烘干率 =

  ⑧含水率 =

  一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以超过100%。(一般出粉率在70、80%,出油率在30、40%。)

  2、已知单位“1”的量(用乘法)求单位“1”的百分之几是多少的问题:

  数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:

  (1)分率前是“的”: 单位“1”的量×分率=分率对应量

  (2)分率前是“多或少”的意思: 单位“1”的量×(1

  分率)=分率对应量

  3、未知单位“1的量(用除法),已知单位“1”的百分之几是多少,求单位“1”。

  解法:(建议:最好用方程解答)

  (1)方程: 根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。

  (2)算术(用除法): 分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量

  4、求一个数比另一个数多(少)百分之几的问题:

  两个数的相差量÷单位“1”的量× 100%或:

  ①求多百分之几:(大数÷小数 – 1) × 100%

  ② 求少百分之几:( 1 - 小数÷大数)× 100%

  (二)、折扣

  1、折扣:商品按原定价格的百分之几出售,叫做折扣。通称“打折”。

  几折就表示十分之几,也就是百分之几十。例如八折==80﹪,六折五=0.65=65﹪

  2、 一成是十分之一,也就是10%。三成五就是十分之三点五,也就是35%

  几成”就是十分之几,也就是百分之几十。如:五成表示()%

  “折扣”表示某种商品降价的幅度。如:75折就表示现价是原价()%

  (三)、纳税

  1、纳税:纳税是根据国家税法的有关规定,按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。

  2、纳税的意义:税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业。

  3、应纳税额:缴纳的税款叫做应纳税额。

  4、税率:应纳税额与各种收入的比率叫做税率。

  5、应纳税额的计算方法:应纳税额 = 总收入 × 税率

  (四)利息

  1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。

  2、储蓄的意义:人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社,储蓄起来,这样不仅可以支援国家建设,也使得个人用钱更加安全和有计划,还可以增加一些收入。

  3、本金:存入银行的钱叫做本金。

  4、利息:取款时银行多支付的钱叫做利息。

  5、利率:利息本金比值叫做利率。

  6、利息的计算公式:利息=本金×利率×时间

  7、注意:如要上利息税(国债和教育储藏的利息不纳税),则:

  税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×(1-利息税率)

  8、本息=本金+利息

  第六单元 统计

  一、扇形统计图的意义:

  用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。

  也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比图)。

  二、常用统计图的优点:

  1、条形统计图:可以清楚的看出各种数量的多少。

  2、折线统计图:不仅可以看出各种数量的多少,还可以清晰看出数量的增减变化情况。

  3、扇形统计图:能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。

  三、扇形的面积大小:在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形越大。(因此扇形面积占圆面积的百分比,同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。)

  第七单元 数学广角

  一、“鸡兔同笼”问题的特点:

  题目中有两个或两个以上的未知数,要求根据总数量,求出各未知数的单量。

  二、“鸡兔同笼”问题的解题方法

  1、猜测法

  2、假设法

  (1) 假如都是兔

  (2) 假如都是鸡

  (3) 古人“抬脚法”:

  解答思路:

  假如每只鸡、每只兔各抬起一半的脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”。这样,鸡和兔的脚的总数就少了一半。这种思维方法叫化归法。关系式:

  鸡兔总脚数÷2-鸡兔总数 = 兔的只数; 鸡兔总数 - 兔的只数 = 鸡的只数。

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